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Matemática

Conjuntos Numéricos

Na matemática, CONJUNTOS são um recurso para reunir diversos valores.

Por exemplo, o conjunto A representa os múltiplos de 2.  A = {2,4,6,8,10,12, etc}

E com isso, podemos dizer, matematicamente, que 4 pertence ao conjunto A.

Também podemos dizer que o conjunto B, dos múltiplos de 4 está contido dentro de A.

B = {4,8,12, 16,20, etc}

Teoria Básica dos Conjuntos

Existe e Contido

A primeira coisa que podemos falar sobre conjuntos é a relação de pertencimento ou existência.

Por exemplo, o conjunto A é dos múltiplos de 2: {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

Podemos dizer que 2 EXISTE no conjunto A, portanto {2 A}. Da mesma forma, podemos falar que {3 B}, ou seja, 3 não existe em B.

Este símbolo de “existe” funciona para relacionar um elemento com um conjunto.

Mas e se tivermos um conjunto DENTRO do outro? Então dizemos que ele está CONTIDO.

Por exemplo, se o conjunto B é dos múltiplos de 4: {4, 8, 12}, então podemos dizer que B A.

Também podemos dizer o contrário – que A CONTÉM B e isso pode ser escrito pelo símbolo A B.

Para memorizar, tenho uma dica:

  • Assim como nos símbolos < e >,  os símbolos ⊂ e ⊃ são parecidos.
  • B ⊂ A significa que B é menor e está relacionado ao A maior. Logo, B está contido em A.

Igualmente, se C = {3,6,9,12}, então podemos dizer que C não está contido em A ou que A não contém C. Ou seja: {C ⊄ A}

Conjunto Vazio e Universo

Assim como temos o número ZERO, também temos o conjunto vazio, representado por {} ou ∅.

O conjunto vazio existe em todos os outros conjuntos, então quando falamos que A = {1, 2}, também estamos dizendo que o conjunto vazio está ali dentro automaticamente.

O lado oposto é o Conjunto UNIVERSO, que representa um conjunto que contém todos os elementos possíveis dos outros conjuntos. .

Se temos A = {1, 2} e B = {2,3} , então U = {1,2,3}.

Conjunto Complementar

O complemento de um conjunto é o inverso desse conjunto.

Ou seja, se temos o U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, o conjunto A = {1,2,3,4,5}, então o conjunto complementar de A, notado como A’ = {6,7,8,9,10}.

Por exemplo, se temos uma sala de aula com 20 alunos e 15 alunos foram aprovados, então o conjunto complementar são os alunos reprovados, que totalizam 5 alunos.

União, Diferença e Interseção de Conjuntos

Se compararmos com a matemática “normal”, então união é a soma e a diferença (ou conjunção) é a subtração.

Tome os conjuntos: A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}

  • A união de A e B é: A ∪ B = {1,2,3,4,5}. Perceba que os elementos não se repetem dentro do conjunto.
  • A diferença entre A e B é:  A – B = {1,2}.
  • A diferença entre B e A é:  B – A = {4,5}
  • A Interseção de A e B é: A ∩ B = {3}. Perceba que Interseção significa “o que eles tem em comum”.

Perceba que A = (A – B) ∪ (A ∩ B), ou seja,  DIFERENÇA e INTERSEÇÃO nos dão partes complementares da operação. 

Partes do Conjunto

As partes do conjunto são as diferentes formas de combinar os elementos do conjunto para criar novos subconjuntos.

Por exemplo, A = {1,2,3}, então suas partes são:

  • {} ou o conjunto vazio
  • {1}, {2} e {3}, que são 3 conjuntos unitários dos seus elementos em separado.
  • {1,2} ,{2,3} {3,1}
  • {1,2,3}

Então P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

A fórmula para saber a quantidade de subconjuntos ou partes é:  2^n, sendo “n” o número de elementos do conjunto.

Preparação para os Exercícios

Com a teoria básica que vimos, é hora de adentrar melhor no que os exercícios podem exigir.

Nem sempre (quase nunca) vamos ver essas coisas básicas ditas até agora, então vamos pegar alguns casos.

Quantidades ao invés de elementos

Muitas questões (a maioria) vão utilizar a quantidade de elementos ao invés dos elementos em si.

Por exemplo: Em uma turma, 20 pessoas gostam de Rock, 30 pessoas gostam de Funk, 10 pessoas gostam de Rock e Funk e 15 pessoas não gostam de nenhum deles. Qual o total de pessoas na turma?

Aqui, você deve utilizar a lógica.

  • Das 20 pessoas que gostam de Rock, 10 também gostam de funk. Ou seja, apenas 10 gostam exclusivamente de rock.
  • Com a mesma lógica, das 30 funkeiras, apenas 20 são só funkeiras.
  • Temos então 4 grupos:  Rock = 10, Funk = 20,  Ambos = 10, Nenhum = 15
  • total = 55 pessoas

Vamos usar a linguagem matemática agora.

  • R = 20
  • F = 30
  • R ∩ F = 10
  • logo, R – F = 10
  • e também, F – R = 20
  • (R ∪ F)’ = 15  (inverso da união de rock e funk = nenhum deles)
  • U = (R -F) ∪ (F-R) ∪ (R ∩ F) ∪ (R ∪ F)’ = 10 + 20 + 10 + 15 = 55

Use a cabeça!

Muitas questões vão exigir a sua lógica. Não existem fórmulas ou nada que possa ser feito, a não ser que você tire as teias de aranha da cabeça e comece a treinar os neurônios.

Ex: (FAI 2019): Determinar o conjunto X tal que:

I. (a, b, c, d) ∪ X = (a, b, c, d, e)
II. (c, d) ∪ X = (a, c, d, e)
III. (b, c, d) ∩ X = (c)

Aqui temos 3 premissas que dão dicas.

I. Pela união dos conjuntos, podemos entender que  X = {e}

II. Novamente, agora entendemos que X = {a,e}

III. O que existe em comum entre b,c,d e X é apenas o C, ou seja,  X = {a,c,e} 

Você pode fazer mais questões sobre o assunto buscando por “Conjuntos Exercícios Vestibular” no google.

https://enem.estuda.com/questoes/?resolver=&prova=&q=&inicio=1&q=&cat=3&subcat%5B%5D=2670

 

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